真空妙有，『面』上生花——以『认识面积』一

编者按：

“人生自古谁无‘错’？学生尤甚”“有‘化错’，才有真正的学习”“教育就是教己育人，正己化人，以人育人”……在从“知识核心时代”走向“素养核心时代”的历程中，全国著名特级教师华应龙基于“融错教育”“化错教学”等研究，进一步提出了“化错教育”的新主张，并带领他的团队在教学中积极探索、实践。本专辑从多角度、多方面记录华老师及其团队最新的研究成果，以飨读者。

【教学内容】

北师大版教材三年级下册“什么是面积”。

【课前慎思】

一、怎么理解“面积”

什么是面积？什么是面？什么是积？学生最不好理解的是“面”还是“积”？“面”和“积”又是怎么联系起来的？面积具有可加性，那么面积为什么不叫“面和”？

一张扑克牌有正反两面，撕去一面还有两面，再撕去一面还有两面，可否理解为面是很薄很薄且只有长宽没有厚度的？

不同的教材都有类似的“物体的表面或平面图形的大小就是它们的面积”，我不禁要问：那么，“物体的表面”和“平面图形”是什么关系？为什么到面积了，要这样正式？而三年级上学期刚刚学的“什么是周长”不是这样正式，就没有这样的学究味，只是借小蚂蚁的嘴说“我爬过一周的长度就是树叶的周长”，借小鸟图说“图形一周的长度就是图形的周长”。

什么活动才能帮助学生更好地理解“面积”？有的老师认为“相比长度，面积更为抽象”。好像面积不抽象吧？台湾地区的吕玉英老师说：“面积这个量的属性是可以通过感官掌握的，可以用手比画或目视大小的。”面积也是具象的，线段只有长度，也就是只有一个向度，而面积不仅有长短而且有宽窄，也就是有两个向度，学生对面积的学习经验和生活经验少些罢了。我们能设计出有针对性的活动，帮助学生从一维发展到二维，就可能降低认识面积的难度。

以“积”开头的成语有：积少成多、积露为波、积沙成塔、积水成渊……那么，从数学上来说，是积点成线、积线成面吗？可以这么说吗？

牛顿在其名著《流数法与无穷级数》的前言中说：“可以把数学中的量看作是连续的运动产生出来的。”这句话是不是告诉我们，几何形体不仅可以从形状上看成是运动生成的，其求积问题也可以用运动的方式加以研究呢？

这样教学的前提是，现实地认为线是有宽度的。这就与人们常说的 “点没有大小、线没有粗细、面没有厚薄”相冲突了，怎么办？怎么解释？现实中哪条线没有宽度呢？为什么要说“线没有粗细”？我请教了三位研究数学教育的教授。第一位教授说：“数学上，点没有大小、线没有粗细、面没有厚薄是欧几里得的《几何原本》中的规定，它们是原始概念，没有理由。”第二位教授说：“线是一维的，只有长度，没有粗细；点是零维的，如果有大小，就是二维的圆了。”第三位教授告诉我：“那是因为点和线是对现实世界的抽象，因此与具象有关的大小、粗细，对抽象的点和线没有实际意义，大点或小点、粗些或细些都不影响我们讨论问题。”那是否可以这样理解：“线没有粗细”是说在讨论数学问题时，线的粗细被有意忽略了。你说有还是没有，它都在那里。在这节课上，线的粗细被我重视了。

二、怎么比较面积的大小

“比一比，谁围的面大？”这是老师常常采用的教学活动。怎么比较大小？比较什么图形的面积大小？生活中常见的是不规则的图形，学生掌握不好的也是不规则图形的面积。一开始就比较不规则的图形，是否太难了？看不出来的又怎么办？可不可以用涂满的方法来比？画线来比行不行呢？好像有些荒唐，不过这样比可以很好地突出面积的意义啊。画出的线是有粗细的，是不是就是用长方形来比的呢？我们的祖先就是将假定图形化为宽边为一个单位长度的长方形，以这个长方形长边的长度来表示面积大小的。

比较两个长方形的面积，可以重叠的，不用画线了；重叠也比不出的，可以提供印泥，用大拇指来盖，再用小拇指来盖……剪下来称？用天平称？2011版数学课标及相应的教材，为什么删掉了“能用自选单位估计和测量图形的面积”的要求？

三、追求怎样的课堂愿景

以前的教学设计，常常移步换景，一节课要出现15个左右的情境素材，是不是太多、太碎、太杂？能否简单些、丰富点？抓住一个素材好好品味？

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